Автор Муниципальный этап 2025-2026 всероссийской олимпиады школьников по математике задания и ответы для 7, 8, 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада прошла у школьников Москвы 3-5 декабря 2025 года критерии и решение опубликованы после заданий.
Задания для 7 класса
7.1. В Матемляндии есть разные купюры: вамбики, кабодики и джамбики. Пять вамбиков равны трем кабодикам, а десять кабодиков — двум джамбикам. Сколько джамбиков равны 225 вамбикам?
7.2. Петя на клетчатой плоскости нарисовал по клеткам два прямоугольника. У одного из них стороны равны 3 и 10, а у другого стороны равны 5 и 6. Оказалось, что площадь их пересечения равна 12. Чему может быть равен периметр их объединения? Укажите все возможные варианты ответа.
7.3. Петя взял все натуральные числа от 1 до 2025, возвел их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске?
7.4 У Алексея, Бориса, Вити, Гены и Димы есть суммарно 300монет. Они сделали следующие утверждения: Алексей: «Количество монет у меня хотя бы столько же, сколько и суммарно у остальных». Борис: «Количество монет у меня хотя бы половина от суммарного количества монет у остальных». Витя: «Количество монет у меня хотя бы треть от суммарного количества монет у остальных». Гена: «Количество монет у меня хотя бы четверть от суммарного количества монет у остальных». Дима: «Количество монет у меня хотя бы одна пятая от суммарного количества монет у остальных». Известно, что один из них соврал, а остальные сказали правду. (а) Кто из них соврал? (б) Какое наибольшее количество монет может быть у совравшего на самом деле?
7.5. Найдите количество путей длины 11 из 𝐴 в 𝐵 по сторонам нарисованных клеток, если каждая клетка является квадратом со стороной 1.
7.6. Двадцать прямых, никакие две из которых не параллельны, пересекаются в 𝑁 точках. В одной из точек пересекается сразу десять прямых, еще в одной — пять, а во всех остальных только по две прямые. Чему может быть равно 𝑁? Укажите все возможные варианты ответа.
7.8 Царство гномов состоит из 20 кланов по 100 гномов. Каждый гном входит только в один клан. Гном считается высоким, если найдется хотя бы 10 кланов, не включая его собственный, средний рост в каждом из которых меньше, чем рост этого гнома. Какое наибольшее количество высоких гномов может быть в царстве?
Задания для 8 класса
8.1. На шоссе в указанном порядке расположены 5 городов: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸. Для каждого из них посчитали суммарное расстояние до всех остальных городов, получились числа на картинке. (а) (3 балла) Чему равно расстояние между городами 𝐴 и 𝐸? (б) (4 балла) Чему равно расстояние между городами 𝐴 и 𝐵?
8.2. На доске написано 432105. За одно действие разрешается либо поменять местами две соседние цифры в этой записи, либо заменить число, образованное двумя соседними цифрами, на число на 9 меньше, если оно неотрицательное. При этом в записи могут появиться нули в начале. Так, например, если бы на доске было написано число 2025, за первый ход можно было бы получить записи 0225, 2205, 2052, 1125, 2016. (а) (2 балла) Запись какого наименьшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)? (б) (5 баллов) Запись какого наибольшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?
8.3. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝐷 и 𝐸 — середины 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы углов 𝐶𝐴𝐵 и 𝐵𝐸𝐷, если ∠𝐴𝐵𝐶 = 56∘ . Ответ укажите в градусах. Напомним, что угол между прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении.
8.4. Дед Мороз раздал подарки 17 ребятам. Во всех подарках различное ненулевое количество конфет, а любые девять ребят получили больше конфет, чем оставшиеся восемь. Какое наименьшее количество конфет мог раздать Дед Мороз?
Задания для 9 класса
9.1. Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 1000 рублей и 1/10 оставшихся доходов, второй — 2000 рублей и 1/10 остатка, третий — 3000 рублей и 1/10 остатка и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну. Сколько рублей получил каждый акционер?
9.2. В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 10, и у игрока есть еще 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле: сила × ловкость + ловкость × интеллект + интеллект × харизма + харизма × сила (a) (3 балла) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа. (b) (4 балла) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа.
9.3. По кругу стоят 15 мальчиков и 26 девочек. Известно, что ровно у 19 человек оба соседа — девочки. У какого количества человек оба соседа — мальчики?
9.4. На диагонали 𝐴𝐶 и стороне 𝐶𝐷 квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 выбрали точки 𝑀 и 𝑁 соответственно так, что 𝑀𝑁 = 𝑀𝐷. Найдите, чему равна длина отрезка 𝐶𝑁, если 𝑀𝑁 = 10, 𝐴𝐵 = 14.
9.5. Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 40-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 26-го. Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора.
Задания для 10 класса
10.1. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2𝑛 членов. Известно, что разность суммы последних 𝑛 и суммы первых 𝑛 членов равна 450. Укажите все возможные значения 𝑛, если известно, что 𝑛 > 1.
10.3. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐴𝐷. Вписанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 касаются 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно и касаются 𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Пусть прямые 𝑃𝑋 и 𝑄𝑌 пересекаются в точке 𝑍. Найдите площадь треугольника 𝑋𝑌𝑍, если известно, что 𝐵𝐶 = 22, 𝐴𝐷 = 12 а периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 56.
10.4. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть 𝑎 — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. (а) (3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение 𝑎? (б) (4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение 𝑎?
10.5. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 на стороне 𝐴𝐷 отметили такую точку 𝑋, что 𝐴𝑋 = 𝐶𝐷 и ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐴. Найдите 𝐵𝑋, если известно, что 𝐴𝐵 = 8, 𝐵𝐶 = 10, 𝐶𝐷 = 3.
10.6. При каком наименьшем 𝑛 во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до 𝑛, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
10.7. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером 𝑛 и ставит её непосредственно справа от книги с номером 𝑚, где 𝑚 — наибольший собственный делитель 𝑛. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги. (а) (2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33? (б) (5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
Задания для 11 класса
11.1. Найдите натуральное 𝑥 такое, что 𝑥 𝑥 = 22 11 .
11.2. В прямоугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = 12 отметили точку 𝑀 — середину стороны 𝐶𝐷. На отрезке 𝐵𝑀 отметили точку 𝑃 так, что 𝐵𝐶 = 𝐵𝑃. Найдите площадь четырехугольника 𝐴𝐵𝑃𝐷.
11.3. Петя случайно выбирает натуральное число 𝑑 от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна 1/5). Затем Петя случайно выбирает натуральное число 𝑎 от 1 до 1300 (вероятность выбрать каждое равна 1/1300). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом 𝑎 и разностью 𝑑 будет равен 1825.
11.4. У Пети есть натуральное число 𝑁. Он рассматривает все пары цифр числа 𝑁, одна из которых четная, а другая нечетная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре. Например, если бы у него было число 2338, то на доске были бы записаны числа 6, 6, 24 и 24. Оказалось, что сумма чисел на доске равна 26. Какое минимальное 𝑁 могло быть у Пети?
11.6. Функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) определены на множестве действительных значений и принимают действительные значения. Также известно, что 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) взаимно обратны, при этом значения функций 𝑓(𝑥) и 1 2 𝑥 во всех точках отличаются меньше чем на 5. Уравнение 𝑔(𝑥) = 25 − 𝑥2 имеет целый корень. Найдите все возможные значения этого корня. Напомним, что функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥), определенные на множестве действительных значений и принимающие действительные значения, являются взаимно обратными, если 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 для всех действительных 𝑥.
11.8. Петя и Вася играют в следующую игру. На доске 5 × 5 в каждой клетке лежит по 𝑛 конфет. Петя и Вася по очереди, начиная с Пети, выбирают непустую клетку и съедают из неё несколько конфет. При этом из угловых клеток разрешается съедать не более двух конфет, из клеток, имеющих 3 соседа по стороне, — не более 3 конфет, из всех остальных — не более 5 конфет. Игрок, после чьего хода появляется пустая строка или пустой столбец, побеждает. Для скольких 𝑛 в диапазоне от 1 до 1000 у Пети есть выигрышная стратегия?