Автор Муниципальный этап 2024-2025 всероссийской олимпиады школьников по математике задания и ответы для 7, 8, 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада прошла у школьников Москвы 4-6 декабря 2024 года. Предварительные результаты ВСОШ уже известны. Критерии и решение опубликованы после заданий.
Набранные баллы и свои ответы участники могут посмотреть под своими аккаунтами в Московской электронной школе. Для этого нужно авторизоваться на главной странице МЭШ под своей учетной записью, в разделе «Олимпиады для учащихся» во вкладке «Мои олимпиады» выбрать нужную олимпиаду или перейти по ссылке нужного класса.
Задания олимпиады по математике муниципальный этап 2024
mat-msk-mun-2024-2025-zadanieОтветы и решения для олимпиады по математике
otveti-reshenie-mat-msk-2024-2025Задания и ответы для 7 класса
Задача 7.1. (4 балла) Бегемотики Ася и Вася изначально весили одинаково. За год вес Аси увеличился в 3, 5 раза, в следующий год — ещё в 2, 5 раза, а в третий — ещё в 1, 5 раза. При этом вес Васи в первый год увеличился в 4, 5 раза, во второй — ещё в 3, 5 раза, а в третий — ещё в 2, 5 раза. Во сколько раз теперь Вася тяжелее Аси?
Задача 7.2. (4 балла) Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?
Задача 7.3. (4 балла) На прямой в некотором порядке расположены пять различных точек A, B, C, D и E. Известно, что AB = 4, BC = 7, CD = 11, DE = 16. Чему равно наименьшее возможное расстояние между A и E?
Задача 7.4. (4 балла) Малыш и Карлсон решили пробежать три круга по стадиону. Малыш бежал всю дистанцию с постоянной скоростью 4 км/ч. Карлсон бежал каждый круг с постоянной скоростью. Первый круг он бежал с той же скоростью, что и Малыш. Затем он подкрепился вареньем и пробежал второй круг в шесть раз быстрее. После второго круга он тоже подкрепился вареньем, но понял, что объелся, и замедлился. С какой скоростью Карлсон бежал третий круг, если они с Малышом финишировали одновременно, но в течение забега Карлсон потратил на поедание варенья столько же времени, сколько и на бег? Ответ дайте в км/ч.
Задача 7.5. (4 балла) Маша, Даша и Саша загадали по числу от 1 до 9, а затем сообщили эти числа друг другу. Оказалось, что все загаданные ребятами числа различны. После этого каждый из них произнёс по утверждению: Маша: «Сумма загаданных чисел делится на 4» Даша: «Если бы я могла загадывать числа больше 9, я бы загадала число в три раза больше, и тогда сумма загаданных увеличилась бы вдвое» Саша: «Все загаданные числа больше 2» Напишите загаданные ими числа в любом порядке, если известно, что никто не из них не ошибся.
Задача 7.6. У Егора есть таблица 5×5. Назовём крестом какой-то клетки все 9 клеток из объединения её строки и столбца. Егор выбрал несколько клеток в этой таблице. После чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько выбранных им клеток содержится в кресте этой клетки. В результате получилась такая таблица: (а) (1 балл) Сколько клеток загадал Егор?
Задача 7.7. (б) (3 балла) Найдите координаты загаданных клеток.
Задача 7.8. (4 балла) В лесу 40% деревьев — хвойные, при этом ели составляют 34% от числа хвойных деревьев. (а) (1 балл) Какое наименьшее число деревьев может расти в таком лесу? (б) (3 балла) На Новый год в лесу срубили несколько хвойных деревьев, и доля елей среди хвойных деревьев снизилась до 33%. А какое наименьшее число деревьев могло расти в лесу до Нового года при таком дополнительном условии?
Задача 7.9. (4 балла) Какое наименьшее количество прямоугольников 3 × 4 и 1 × 7 нужно использовать, чтобы сложить из них квадрат? При складывании нужно использовать хотя бы один прямоугольник каждого типа.
Задания и ответы для 8 класса
Задача 8.1. (4 балла) Найдите наибольшее натуральное число n, при котором (7!)! делится на n!. Здесь k! означает произведение 1 · 2 · 3 · . . . · k.
Задача 8.2. (4 балла) Саша и Маша пришли в магазин. Саша купил 3 пакета молока, 7 пачек творога и 5 йогуртов. Маша купила 2 пакета молока, 10 пачек творога и 6 йогуртов. Саша потратил на всё 980 рублей, а Маша потратила 1160 рублей. Сколько суммарно стоит один пакет молока, одна пачка творога и один йогурт?
Задача 8.3. (4 балла) Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC отметили точку O. Оказалось, что AO = BO = CO = BC и DA = DO = DC. Сколько градусов составляет угол BAO?
Задача 8.4. В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда лгали. Через n дней оказалось, что каждый из лентяев сходил на работу ровно 1 раз. (а) (2 балла) Найдите наибольшее возможное значение n. (б) (2 балла) Найдите наименьшее возможное значение n.
Задача 8.5. У Пети есть три палочки, длины которых равны a см, b см и c см. Известно, что числа a, b и c натуральные, различные, и ac = b 2 . Петя смог сложить из своих палочек треугольник. (а) (2 балла) Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
Задача 8.6. (б) (2 балла) Пусть b = 72. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
Задача 8.7. (4 балла) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. На гипотенузе AB отметили точки X и Y , такие что CX и CY — биссектрисы углов BCH и HCA соответственно. Найдите, чему равна длина стороны AB, если известно, что периметр треугольника ABC равен 44, а длина отрезка XY равна 6.
Задача 8.8. (4 балла) Найдите сумму цифр числа.
Задача 8.9. (4 балла) Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит. Несколько гусей стоят в клетках доски 8 × 8 так, что никакой гусь не бьёт другого гуся, при этом любая незанятая клетка бьётся хотя бы одним гусём. Сколько гусей может стоять на доске? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Задания и ответы для 9 класса
Задача 9.1. (4 балла) Про положительные числа a и b известно, что a 2+ab = 36 и b 2 + ab = 64. Найдите значение a + b.
Задача 9.2. Катя написала на доске натуральное число. За один ход она может взять две подряд идущие цифры этого числа, произведение которых является двузначным числом, и заменить их на это произведение. Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за один ход из него 1158 или 1340. Известно, что после того как Катя произвела 3 операции со своим числом, она получила число 2345. (а) (2 балла) Какое число Катя могла написать изначально? Приведите один пример.
Задача 9.3. (б) (2 балла) Укажите в любом порядке все числа, которые могли быть у Кати изначально.
Задача 9.4. (4 балла) Петя и Вася плавают в бассейне размера 10 м × 17 м. Известно, что кратчайшее расстояние от Пети до края бассейна равно 2 метра, а кратчайшее расстояние от Васи до края — 3 метра. Какое максимальное расстояние может быть между Петей и Васей?
Задача 9.5. (4 балла) В футбольном турнире участвовало десять команд, каждая сыграла с каждой один раз. Команды, занявшие первое и второе место, в сумме набрали всего лишь на пять очков меньше, чем все остальные команды вместе. Сколько очков набрала команда с минимальным количество очков? За победу в футбольном турнире дают 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.
Задача 9.6. (4 балла) Простое число p таково, что числа 15p − 15 и 16p − 15 являются точными квадратами. Чему может быть равно p? Укажите все возможные варианты в любом порядке. Задача 9.7. (4 балла) Петя выписал на доску выражение 1 + 2 + . . . + 1000. Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число 547 превратилось в 5 · 4 · 7. Чему равно значение полученного выражения?
Задача 9.8. Лёня мечтает в будущем полететь на Марс и основать там свою страну. Пока он хочет придумать флаг этой страны. Он собирает различные варианты флага размером 8 × 8 из плиток 1 × 1 серого, бурого и малинового цветов, причём плитки каждого из цветов должны присутствовать. (а) (1 балл) Лёня решил, что плитки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Кроме того, плитки серого и бурого цвета в объединении тоже должны образовывать прямоугольник, а также плитки бурого и малинового цвета в объединении должны образовывать прямоугольник. Сколько вариантов флага придётся рассмотреть Лёня? (б) (3 балла) Лёне не понравился ни один вариант флага из пункта (а), и он решил отказаться от условий про объединения цветов. Осталось лишь требование, что клетки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Сколько новых вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
Задача 9.9. (4 балла) В остроугольном треугольнике ABC провели высоты BB1 и CC1. Точки M и N являются серединами сторон AC и AB соответственно. Прямая C1M повторно пересекает описанную окружность треугольника BCC1 в точке X. Точка O является центром описанной окружности треугольника B1MX. Найдите ON, если AB = 10, B1M = 3, ∠A = 60◦ .
Задания и ответы для 10 класса
Задача 10.1. (4 балла) Действительные числа a1, a2, . . . , a90 образуют арифметическую прогрессию. Чему равно a2 + a5 + a8 + . . . + a89, если a1 + a2 + a3 + . . . + a90 = 3000?
Задача 10.2. (4 балла) Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия: В его десятичной записи все цифры ненулевые; Сумма его цифр равна 32; Любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр. Найдите наименьшее хорошее число.
Задача 10.3. Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке. (а) (2 балла) Найдите вторую сторону прямоугольника. (б) (2 балла) Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
Задача 10.4. (4 балла) Приведённые квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) таковы, что каждое из чисел 0, 4, 6, 8, 9, 12 является корнем одного из трёхчленов P(x), Q(x), P(x) + Q(x). Чему равно P(0) + Q(0)? Напомним, что квадратный трёхчлен ax2+bx+c называется приведённым, если a = 1.
Задача 10.5. На городском проспекте через равные расстояния расположены 11 зданий: склады с напитками, курьерская компания, и 5 офисов. Расстояние между каждыми соседними зданиями равно 1 км. Вчера утром поступило пять одинаковых заказов из офисов. В каждый офис нужно было привезти пять ящиков бутылок: с молоком, с кефиром, с квасом, с соком и с минеральной водой. Автомобиль курьера Василия может одновременно везти только один ящик. Вчера он выехал из здания курьерской компании и развозил напитки в офисы, пока не выполнил все заказы, а затем вернулся в точку старта. (а) (1 балл) За доставку каждого ящика Василий получает 100 рублей. Сколько рублей Василий заработал за вчерашний день? (б) (3 балла) На каждый километр пути автомобиль Василия тратит бензина на 5 рублей. Какую минимальную сумму Василий мог потратить на бензин за вчерашний день?
Задача 10.6. (4 балла) Дан четырёхугольник ABCD, причём AD = BC, ∠DAC = 97◦ , ∠CBD = 83◦ и ∠BCD = 65◦ . Найдите ∠ACD (ответ дайте в градусах).
Задача 10.7. (4 балла) Школьный актовый зал представляет из себя квадрат 11 × 11. На вечернем мероприятии все места были заняты. Каждый из присутствующих сказал: «В моём горизонтальном ряду сидит больше девочек, чем в моём вертикальном ряду». Оказалось, что 60 детей сказало правду, а 61 — неправду. Какое наибольшее число девочек могло присутствовать?
Задача 10.8. Функция f(x) определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального n выполнено f(n + 1) > f(n) и f(f(n)) = 3n. (а) (1 балл) Найдите f(10). (б) (3 балла) Найдите f(2024).
Задания и ответы для 11 класса
Задача 11.1. (4 балла) В прямоугольном параллелепипеде V все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из вершин параллелепипеда V и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна 240 см2 , а наименьшая — 24 см2 . Обозначим x см2 площадь оставшейся грани. Найдите сумму всех возможных значений x.
Задача 11.2. (4 балла) Положительные действительные числа x, y удовлетворяют равенствам y = √3 x и x y = y x . Чему может быть равно xy?Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Задача 11.3. (4 балла) Три окружности радиусов a, b, c касаются как на рисунке, а их центры Q, R, S вместе с точкой T являются вершинами прямоугольника, причём точка T лежит на окружности с центром S. Найдите площадь прямоугольника QRST, если b = 5.
Задача 11.4. (4 балла) В классе учится три человека, увлекающихся рисованием, четыре человека, увлекающихся шахматами, и пять человек, увлекающихся танцами (каждый ученик увлекается ровно одним занятием). Учитель хочет разбить всех детей по парам так, чтобы увлечения участников любой пары были различны. Сколькими способами он может это сделать?
Задача 11.5. (а) (2 балла) Назовём натуральное число m привлекательным, если равенство 2024 n = m не выполняется ни для какого натурального n. Напомним, что ⌊x⌋ обозначает целую часть числа x. Найдите наименьшее привлекательное число. (б) (2 балла) Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
Задача 11.6. Назовём натуральное число n увлекательным, если в клетках квадратной таблицы n×n можно расставить числа от 1 до n 2 так, чтобы сумма чисел в клетках любого квадратика 2 × 2 делилась на 4. (а) (1 балл) Приведите пример числа n, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам 40 ⩽ n ⩽ 49. (б) (3 балла) Найдите количество увлекательных чисел среди чисел 10, 11, . . . , 49.
Задача 11.7. Обозначим α положительный корень квадратного трёхчлена x 2+ x − 5. Многочлен P(x) имеет целые неотрицательные коэффициенты, и P(α) = 49. (а) (1 балл) Найдите наименьший возможный свободный член многочлена P. (б) (3 балла) Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена P.
Задача 11.8. (4 балла) Дан тетраэдр ABCD. Известно, что AD = BC = 10, AC = BD = 11, AB = 9 и CD = 13. Борис выбирает точку X внутри тетраэдра и считает сумму AX + BX + CX + DX. Какое наименьшее значение он может получить?
Региональный этап 2024 по математике задания и ответы
Региональный этап 2024 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы олимпиады ВСОШ