Автор Задания с ответами и решением заключительного и отборочного этапа Московской математической олимпиады ММО школьников по математике 8, 9, 10, 11 класс материалы прошлых лет с официального сайта олимпиады для подготовки к олимпиаде 2024-2025 учебному году. Победители и призёры получают льготы при поступлении в ВУЗЫ.
2023-2024 учебный год
Отборочный этап: задания и ответы
Заключительный этап: задания, решения
2022-2023 учебный год
Отборочный этап: задания и ответы
Заключительный этап: задания, решения
2021-2022 учебный год
Отборочный этап: задания и ответы
Заключительный этап: задания, решения
2020-2021 учебный год
Отборочный этап: задания и ответы
Заключительный этап: задания, решения
2019-2020 учебный год
Отборочный этап: задания
Заключительный этап: задания, решения
2018-2019 учебный год
Отборочный этап: задания
Заключительный этап: задания, решения
Интересные задания с олимпиады:
Задача 1. Для какого наибольшего натурального числа 𝑛 существует натуральное число 𝑚, что выполняется равенство 𝑛! · 7! = 𝑚! ? Как обычно, для натурального числа 𝑘 через 𝑘! обозначается произведение натуральных чисел от 1 до 𝑘.
Задача 2. На вечеринку пришли участники ОММО и ММО. Удивительно, но каждый из пришедших принимал участие только в одной из этих олимпиад. Каждые двое из пришедших или друзья, или враги. У каждого участника ММО на вечеринке среди друзей ровно 16 участников ММО и ровно 8 участников ОММО. У каждого участника ОММО на вечеринке среди врагов ровно 7 участников ММО и ровно 10 участников ОММО. Сколько человек пришли на вечеринку? Если ответов несколько, перечислите их все в порядке возрастания через точку с запятой; например, 24;25;26.
Задача 3. Репьюнитом называется натуральное число, десятичная запись которого состоит из одних единиц. Жора выписал в порядке возрастания числа, которые можно представить в виде суммы попарно различных репьюнитов: 1, 11, 12, . . . . Какое число Жора написал на 2024 месте?
Задача 4. На плоскости проведены 220 прямых общего положения, т.е. никакие три не проходят через одну точку, никакие две не параллельны. Они поделили плоскость на области. Назовём расстоянием между областями наименьшее количество прямых, которые надо пересечь, чтобы попасть из одной области в другу. Назовём область любопытной, если расстояние от неё до любой другой области меньше 220. Какое наибольшее количество любопытных областей может быть?
Задача 5. Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?
Задача 6. На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Задача 7. Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки. Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.
Задача 8. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K. Отрезки CM и AK пересекаются в точке E. Оказалось, что ∠MEA = ∠ABC. Докажите, что середины всевозможных отрезков MK лежат на одной прямой.
Задача 9. В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук, начав внизу первого столбика, в конце пути оказался наверху пятого столбика? Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Задача 10. Вася выбрал 100 различных натуральных чисел из множества 1, 2, 3, . . . , 120 и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего 100 звёздочек и 50 знаков корня)
Задача 11. На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Задача 12. Петя загадал положительную несократимую дробь x = m n . За один ход Вася называет положительную несократимую дробь y, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме x+y. Как Васе за два хода гарантированно узнать x?
Задача 13. На описанной окружности треугольника ABC отметили середины дуг BAC и CBA — точки M и N соответственно, и середины дуг BC и AC — точки P и Q соответственно. Окружность ω1 касается стороны BC в точке A1 и продолжений сторон AC и AB. Окружность ω2 касается стороны AC в точке B1 и продолжений сторон BA и BC. Оказалось, что A1 лежит на отрезке NP. Докажите, что B1 лежит на отрезке MQ.
Задача 14. В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук, начав внизу первого столбика, в конце пути оказался наверху пятого столбика? Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии.
Задача 15. На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального k от 1 до 99 сумма чисел на k верхних карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
Задача 16. Петя и Вася играют на отрезке [0; 1], в котором отмечены точки 0 и 1. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?
Задача 17. Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Задача 18. В клуб любителей гиперграфов в начале года записались n попарно незнакомых школьников. За год клуб провёл 100 заседаний, причём каждое заседание посетил хотя бы один школьник. Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. Найдите минимальное значение n, при котором такое могло случиться.
Задача 19. Дан описанный четырёхугольник ABCD с тупым углом ABC. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи DA и CB — в точке Q. Докажите, что |AD − CD| ⩾ |r1 − r2|, где r1 и r2 — радиусы вписанных окружностей треугольников P BC и QAB.
Задача 20. Будем называть натуральное число N сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен f(x) с целыми коэффициентами, что f(f(f(N))) = 0, а f(N) и f(f(N)) не равны 0. Верно ли, что все числа, большие 2024 , сильно кубические?
Задача 21. На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального k от 1 до 99 сумма чисел на k верхних карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
Задача 22. У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны ln 2, ln 3, ln 4, …, ln 20, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
Задача 23. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH. Точки M и N — середины отрезков BH и CH. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек M и N на прямые AB и AC соответственно, равноудалена от точек B и C.
Задача 24. Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
Задача 25. Дан многочлен степени n ⩾ 1 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули всех коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Задача 26. В тетраэдре ABCD скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка AHA, где HA — точка пересечения высот грани BCD, провели прямую hA перпендикулярно плоскости BCD. Аналогичным образом определили точки HB, HC, HD и построили прямые hB, hC, hD соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые hA, hB, hC, hD пересекаются в одной точке.
Задача 27. Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты — до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну — из шести нот, …, одну — из 30 нот. Если в какой-то момент последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии Кощей ни объявил запретными?
Олимпиады школьников по математике:
Заключительный этап по математике 7-11 класс олимпиада высшая проба задания и ответы