Автор Задания и ответы XVII заочная интернет-олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике для 7, 8, 9, 10, 11 классов. Олимпиада содержит 19 заданий, из которых 3 задания – эссе (небольшое сочинение на заданную тему) и 16 заданий – это задачи, требующие полного решения.
Участвовать в Заочной интернет-олимпиаде МЦНМО может любой школьник 7-11 классов или студент СПО независимо от участия или неучастия в отборочном туре Московской олимпиады. Для участников отборочного тура МОШ это будет хорошей подготовкой к заключительному этапу.
Задания олимпиады по вероятности и статистике
zadaniya_xvii_zaochnoy_internet-olimpiady_2023-2024Ответы и решения
resheniya_zadach_xvii_2023-2024Каждую задачу мы рекомендуем участникам, начиная с некоторого класса. Это указание – ориентир, а не ограничение. Любой участник может выполнять любое задание независимо от рекомендаций. Баллы начисляются в соответствии с критериями независимо от класса. Разница в возрасте учитывается при награждении и определении призеров и победителей.
Свои решения и заполненную анкету участника нужно отправить в любом текстовом или графическом формате (doc, docx, pdf, jpg, png и т. п., но не heic) на электронный адрес prob-in-school@yandex.ru до истечения суток 7 января 2024 года по московскому времени. Ответы и решения, высланные 8 января или позже, не принимаются. Ваши решения проверит оргкомитет. Решения задач будут опубликованы на странице олимпиады 8 января. Лучшие эссе будут опубликованы позже по мере проверки.
5. Определение призеров и победителей, награждение
Задания оцениваются разным числом баллов, в зависимости от их сложности. Максимальный балл за каждую задачу указан в ее условии. Единственное требование, предъявляемое к решению задачи, – решение должно быть математически грамотным. Отдельно происходит определение призеров и победителей в 7 классах, отдельно в 8–9 классах и отдельно – в 10–11.
Отдельно производится оценка эссе и награждение авторов лучших эссе независимо от возраста. Критерии награждения оргкомитет публикует после олимпиады, исходя из результатов. Претензии по критериям награждения не принимаются. Победители и призеры получают дипломы и грамоты. Порядок и регламент награждения будет определен оргкомитетом, и вся необходимая информация будет размещена на странице олимпиады.
6. Апелляция
Апелляция проводится по электронной почте с 14 января по 28 января включительно. Форма апелляции будет размещена на странице олимпиады. Оргкомитет прекратит переписку по поводу апелляций после 28 января независимо от того, все ли вопросы выяснены.
Задания и ответы для олимпиады
1. Кольцевые маршруты (рек. от 7 класса, 1 балл). Дирекция железной дороги решила запустить туристические кольцевые маршруты. Кольцевой маршрут должен начинаться на какой-то станции и возвращаться на эту же станцию, но только один раз – в конце маршрута. Изучение железнодорожной сети показало, что перегонов между станциями на 4 больше, чем самих станций. Главный Директор потребовал, чтобы было не менее четырех различных маршрутов. Главный Машинист выразил опасение: – Я думаю, что мы сможем найти только три-четыре кольцевых маршрута. Больше просто нет. – Я уверен, что мы сумеем устроить не меньше пяти кольцевых маршрутов, – возразил ему Главный Кондуктор. Кто прав – Машинист или Кондуктор?
3. Красное и черное. Имеется много красных и столько же черных карточек. Их тщательно перемешали и сложили в стопку. Валя и Коля играют в следующую игру. Вначале каждый получает 15 случайных карточек. Чужие карточки игрок не видит. Затем из стопки достают еще две случайные карточки. Если обе они красные, то Валя выиграла, если обе карточки черные, то Валя проиграла, а если эти две карточки разных цветов, то наступает ничья. Путем сложных расчетов Валя нашла, что если вначале у нее из 15 карточек ровно 5 красных, то вероятность ее выигрыша больше вероятности ее проигрыша на число . На сколько отличаются вероятности выигрыша и проигрыша Вали, если у нее вначале оказалось: а) (рек. от 7 класса, 1 балл) ровно 10 красных карточек из 15; б) (рек. от 9 класса, 3 балла) ровно 11 красных карточек из 15?
4. Ареал обитания (рек. от 7 класса, 2 балла). Пять озер в долине Пяти Озер соединены мелкими протоками. В озерах водится крупная и ценная рыба – золотистый губошлеп. Молодые губошлепы появляются из икры на свет только в озере Долгом. Каждый годовалый губошлеп перебирается по случайной протоке в соседнее озеро независимо от других рыб. Через год подросший губошлеп еще раз мигрирует в соседнее озеро. И опять он выбирает случайную протоку независимо от других. Таким образом, каждый молодой губошлеп совершает ровно два путешествия, но потом вырастает и больше уже не мигрирует, поскольку протоки слишком мелкие для взрослого золотистого губошлепа. Рассеянный Ученый провел исследование и совершенно точно выяснил, что примерно половина взрослых губошлепов живет в озере Круглом, треть – в Долгом, а остальные – в Старом. В Глубоком и в Черном озерах взрослые особи не встречаются. На рисунке показан план долины со всеми пятью озерами. С помощью графа покажите, как могут быть связаны протоками озера между собой.
5. Рейтинг пассажира (рек. от 7 класса, 2 балла). В сервисе такси «Ракета» рейтинг пассажира вычисляется как среднее арифметическое числа звезд, поставленных водителями пассажиру за несколько предыдущих поездок, Более ранние поездки не учитываются. Водитель может поставить пассажиру от 1 до 5 звезд. Рейтинг не округляется. Ксения – курьер, и она регулярно пользуется такси «Ракета». До некоторых пор ее рейтинг был равен пяти. Однажды после поездки ее рейтинг снизился сразу до 4,94. Ксения очень расстроилась. Это было особенно неприятно, поскольку случилось в ее день рождения 15 ноября. Сможет ли Ксения, будучи предельно аккуратной, вежливой и пунктуальной пассажиркой, поднять свой рейтинг до наступления Нового года, если будет ездить на такси один раз каждый день?
6. Лотерея для Буратино. Кот Базилио пригласил Буратино участвовать в беспроигрышной лотерее. Буратино ставит на кон 30 золотых. Столько же ставит лиса Алиса, которая притворяется участницей, а на самом деле в сговоре с котом. После этого Алиса и Буратино по очереди бросают симметричный игральный кубик. Если у Алисы выпало a очков, у Буратино – b очков, то сумма, стоящая на кону, делится в отношении a b a b : : . Алиса получает a частей, Буратино получает b частей, а a b частей получает Базилио как организатор лотереи. а) (рек. от 7 класса, 2 балла). Стоит ли Буратино соглашаться играть на таких условиях? б) (рек. от 9 класса, 2 балла). Найдите математическое ожидание выигрыша Буратино.
7. Недостоверные данные (рек. от 7 класса, 3 балла). Получив заказ на научную статью о прошлом, настоящем и будущем народа Анчурии, Рассеянный Ученый запросил у четырех авторитетных организаций статистические данные о населении всех десяти крупных населенных пунктов Анчурии на текущий момент. Вскорости он получил четыре таблицы, которые показаны ниже. После тщательного рассмотрения Рассеянный Ученый забраковал три из них, посчитав, что они не заслуживают доверия. Восстановите возможный ход рассуждений Ученого и определите, какую из таблиц он не забраковал.
8. Беллинг. Трое беллингистов – Акира, Бидзо и Цунаки – борются в круге, пихая друг друга животами. Цель – выпихнуть из круга всех соперников. Последний, кто остался в круге, тот и победил. В беллинге вероятности победы участников относятся так же, как массы их животов, сколько бы борцов ни участвовало в схватке. Перед началом соревнований оглашаются результаты взвешивания животов всех спортсменов. После взвешивания хитрый Акира отвел Бидзо в сторону и тихо сказал: – Давай объединим усилия против этого толстяка Цунаки.
Сначала мы выпихнем его суммарной массой наших животов, а затем уже честно сразимся между собой. Ничего не подозревающий Цунаки подошел к ним и предложил: – Чем бессмысленно толкаться втроем, давайте выберем честным жребием двоих, пусть сначала пихаются они, а третий будет бороться с победителем. – Я категорически возражаю! – закричал Акира. Он возражал всегда и всем. – Хорошо, тогда я ставлю вопрос на голосование, – рассудительно заявил Цунаки. – Я за, Акира против, и теперь все зависит от решения Бидзо. Вообще-то Бидзо не очень склонен менять правила или вступать в подлые сговоры, но готов на все, если это сулит ему выгоду, то есть больше шансов на победу. а) (рек. от 8 класса, 1 балл). Соглашаться ли ему с Акирой? б) (рек. от 8 класса, 3 балла). Голосовать ли за предложение Цунаки, если он не примет предложение Акиры?
9. Теннис. Коля и Валя играют в настольный теннис до трех побед: тот, кто победил три раза (не обязательно подряд), тот и выиграл весь турнир. Они играют одинаково хорошо: с вероятностью 1/2 выигрывает Коля, а с вероятностью 1/2 – Валя. Ничьих в настольном теннисе не бывает. а) (рек. от 8 класса, 2 балла). Что вероятнее: что последняя партия окажется пятой по счету или четвертой по счету? б) (рек. от 9 класса, 2 балла). Найдите математическое ожидание числа сыгранных партий.
10. Наследство. (рек. от 9 класса, 2 балла). Было у отца ровно 13 быров5 земли. Умирая, отец завещал каждому из своих трех сыновей какое-то число (целое) быров своего поля. После смерти отца брат Тан немедленно продал свой участок соседу и переехал в город. А братья Хын и Мун засеяли свои участки кукурузой. То же самое сделал со своей частью поля сосед. Кукуруза везде взошла густо и выбросила сочные, вкусные початки. Повадилась по ночам прилетать на поле Вещая и Вечная Птица Рю6 . Прилетит, сядет в случайном месте и съест початок – убыток хозяину. Взлетит, покружит над полем, снова сядет, съест еще початок и улетит. Известно, что математическое ожидание числа братьев, несущих убытки в результате каждого ночного налета, равно ровно 1. Сколько быров завещал отец брату Тану?
11. Два орла подряд (рек. от 9 класса, 2 балла). Монету бросают до тех пор, пока не выпадут два орла подряд. Сколько для этого потребуется в среднем бросков?
12. Случайные ладьи (рек. от 9 класса, 3 балла). На шахматную доску на 8 случайных полей поставили 8 ладей. Найдите математическое ожидание числа ладей, которые находятся под боем хотя бы одной другой ладьи.
13. Бал (рек. от 9 класса, 4 балла) На бал пришли 10 кавалеров и 10 дам, не знакомых друг с другом прежде. Как только объявили первый танец, все десять кавалеров в случайном порядке начали приглашать симпатичных им дам. При условии взаимной симпатии дамы отвечали согласием. Взаимные симпатии в каждой паре кавалер-дама образуются с вероятностью p случайно и независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что танцевать будут все и никто не останется без партнера.
14. Коллекция (рек. от 9 класса, 7 баллов). Рассеянный Ученый коллекционирует эксклюзивные авторучки в футлярах. Иногда он сам покупает красивую ручку в футляре, иногда дарят коллеги по работе. Обрадованный Ученый тут же достает всю коллекцию, вынимает все ручки из футляров и вспоминает, при каких обстоятельствах в его коллекцию попала каждая ручка. Затем он снова убирает ручки в футляры, но поскольку не помнит, какая ручка где лежала, рассовывает он их в совершенно случайном порядке.
15. Мешок конфет (рек. от 10 класса, 5 баллов). Средняя масса конфеты белого шоколада и средняя масса конфеты темного шоколада в точности совпадают. Конфеты темного шоколада очень похожи друг на друга, но немного отличаются по весу, зато все конфеты белого шоколада весят совершенно одинаково. В мешке ровно 100 кг конфет темного шоколада. В другом таком же мешке ровно 100 кг конфет белого шоколада. В каком мешке больше конфет? Сравните математические ожидания количества конфет в первом мешке и во втором.
Всероссийские олимпиады школьников 2023-2024 задания и ответы
Всероссийская олимпиада школьников 2023-2024 задания и ответы