Автор Все 17 задания геометрия из 2 части решу ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профильный уровень задачи с ответами и решением из нового сборника 36 тренировочных вариантов Ященко для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 31 мая.
Задание 17 ЕГЭ 2024 математика профиль Ященко
Yaschenko_2024_Zadacha_17_zadanieОтветы
Задание 1
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, а диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝑁, причём 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 1:2, причём 𝐵𝑁 : 𝑁𝐷 = 1:3. a) Докажите, что прямая 𝑀𝑁 делит сторону ромба 𝐵𝐶 в отношении 1 : 4. б) Найдите сторону ромба, если 𝑀𝑁 = √ 12.
Задание 2
Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐵 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝐾, а диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝐿, причём 𝐴𝐾 : 𝐾𝐶 = 1:3, причём 𝐵𝐿 : 𝐿𝐷 = 2:1. a) Докажите, что прямая 𝐾𝐿 делит сторону ромба 𝐴𝐵 в отношении 1 : 4. б) Найдите сторону ромба, если 𝐾𝐿 = 6.
Задание 3
В прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐴 вписана окружность с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑅. К этой окружности параллельно прямой 𝐴𝐵 проведена касательная, которая пересекает стороны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. В треугольник 𝐶𝐷𝐸 вписана окружность с центром в точке 𝑂1 и радиусом 𝑟. Прямые 𝑂𝑂1 и 𝐴𝐵 пересекаются в точке 𝑃. a) Докажите, что 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = cos ∠𝐴𝐶𝐵. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝑅 = 6, 𝑟 = 4.
Задание 4
В прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐴 вписана окружность с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑅. К этой окружности параллельно прямой 𝐴𝐵 проведена касательная, которая пересекает стороны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. В треугольник 𝐶𝐷𝐸 вписана окружность с центром в точке 𝑂1 и радиусом 𝑟. Прямые 𝑂𝑂1 и 𝐴𝐵 пересекаются в точке 𝑃. a) Докажите, что 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = cos ∠𝐴𝐶𝐵. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝑅 = 5, 𝑟 = 3.
Задание 5
В трапеции 𝐾𝐿𝑀𝑁 с основаниями 𝐾𝑁 и 𝑀𝐿 провели биссектрисы углов 𝐿𝐾𝑁 и 𝐿𝑀𝑁, которые пересеклись в точке 𝑃. Через точку 𝑃 параллельно прямой 𝐾𝑁 провели прямую, которая пересекла стороны 𝐿𝐾 и 𝑀𝑁 соответственно в точках 𝐴 и 𝐵. При этом 𝐴𝐵 = 𝐾𝐿. a) Докажите, что трапеция 𝐾𝐿𝑀𝑁 равнобедренная. б) Найдите cos ∠𝐿𝐾𝑁, если 𝐾𝑃 : 𝑃𝑀 = 2 : 3, 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = 1 : 2.
Задание 6
В трапеции 𝐾𝐿𝑀𝑁 с основаниями 𝐾𝑁 и 𝑀𝐿 провели биссектрисы углов 𝐿𝐾𝑁 и 𝐿𝑀𝑁, которые пересеклись в точке 𝑃. Через точку 𝑃 параллельно прямой 𝐾𝑁 провели прямую, которая пересекла стороны 𝐿𝐾 и 𝑀𝑁 соответственно в точках 𝐴 и 𝐵. При этом 𝐴𝐵 = 𝐾𝐿. a) Докажите, что трапеция 𝐾𝐿𝑀𝑁 равнобедренная. б) Найдите cos ∠𝐿𝐾𝑁, если 𝐾𝑃 : 𝑃𝑀 = 4 : 3, 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = 3 : 2.
Задание 7
На стороне BC ромба ABCD отметили точку 𝐸 так, что 𝐵𝐸 : 𝐸𝐶 = 1 : 4. Через точку 𝐸 перпендикулярно 𝐵𝐶 провели прямую, которая пересекает диагонали 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 в точках 𝑅 и 𝑀 соответственно , при этом 𝐵𝑅 : 𝑅𝐷 = 1 : 3. a) Докажите, что точка 𝑀 делит отрезок 𝐴𝐶 в отношении 2 : 1, считая от вершины 𝐶. б) Найдите периметр ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝑀𝑅 = 2√ 3
Задание 8
На стороне BC ромба ABCD отметили точку 𝐸 так, что 𝐵𝐸 : 𝐸𝐶 = 1 : 3. Через точку 𝐸 перпендикулярно 𝐵𝐶 провели прямую, которая пересекает диагонали 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 в точках 𝑅 и 𝑀 соответственно , при этом 𝐵𝑅 : 𝑅𝐷 = 1 : 2. a) Докажите, что точка 𝑀 делит отрезок 𝐴𝐶 в отношении 3 : 2, считая от вершины 𝐶. б) Найдите периметр ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝑀𝑅 = √ 15.
Задание 9
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона 𝐴𝐵 равна 𝑎, а основание 𝐴𝐷 = 𝑐 больше основания 𝐵С = 𝑏. Построена окружность, касающаяся сторон 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷. a) Докажите, что если 𝑏 + 𝑐 > 2𝑎, то окружность пересекает сторону 𝐵𝐶 в двух точках. б) Найдите длину той части отрезка 𝐵𝐶, которая находится внутри окружности, если 𝑐 = 12, 𝑏 = 10, 𝑎 = 8.
Задание 10
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона 𝐴𝐵 равна 𝑎, а основание 𝐴𝐷 = 𝑐 больше основания 𝐵С = 𝑏. Построена окружность, касающаяся сторон 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷. a) Докажите, что если окружность не пересекает сторону 𝐵𝐶, то если 𝑏 + 𝑐 < 2𝑎. б) Найдите длину той части средней линии трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, которая находится внутри окружности, если 𝑐 = 12, 𝑏 = 6, 𝑎 = 10.
Задание 11
В параллелограмме ABCD угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸. а) Докажите, что 𝐴𝐿 : 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 : 𝐵𝐶. б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 21, tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 0,4.
Задание 12
В параллелограмме ABCD угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸. а) Докажите, что 𝐴𝐵 : 𝐴𝐿 = 𝐵𝐶 : 𝐴𝐶. б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 24, tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 0,6.
Задание 13
Четырёхугольник ABCD со сторонами 𝐵𝐶 = 7 и 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 20 вписан в окружность радиусом 𝑅 = 16. а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны. б) Найдите 𝐴𝐷.
Задание 14
Четырёхугольник ABCD со сторонами 𝐵𝐶 = 14 и 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 40 вписан в окружность радиусом 𝑅 = 25. а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны. б) Найдите AD
Задание 15
В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 с меньшим основанием 𝐵𝐶 точки 𝐸 и 𝐹 — середины сторон 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответственно. В каждый из четырехугольников 𝐴𝐵𝐸𝐹 и 𝐸𝐶𝐷𝐹 можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐴𝐵 = 7, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник 𝐴𝐵𝐸𝐹, равен 2,5.
Задание 16
В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 с меньшим основанием 𝐵𝐶 точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответственно. В каждый из четырехугольников 𝐴𝐵𝐸𝐹 и 𝐸𝐶𝐷𝐹 можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐵𝐶 = 16, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник 𝐴𝐵𝐸𝐹, равен 7.
Задание 17
Окружность с центром в точке 𝐶 касается гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает его катеты 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹. Точка 𝐷 – основание высоты, опущенной из вершины 𝐶. 𝐼 и 𝐽 – центры окружностей, вписанных в треугольники 𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐶𝐷. а) Докажите, что 𝐼 и 𝐽 лежат на отрезке 𝐸𝐹. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до прямой 𝐼𝐽, если 𝐴𝐶 = 15, 𝐵𝐶 = 20.
Задание 18
Окружность с центром в точке 𝐶 касается гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает его катеты 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹. Точка 𝐷 – основание высоты, опущенной на 𝐴𝐵. 𝐼 и 𝐽 – центры окружностей, вписанных в треугольники 𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐶𝐷. а) Докажите, что 𝐸 и 𝐹 лежат на прямой 𝐼𝐽. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до прямой 𝐼𝐽, если 𝐴𝐶 = 2√ 3, 𝐵𝐶 = 2.
Задание 19
На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, около которого можно описать окружность, отмечены точки 𝐾 и 𝑁 соответственно. Около четырехугольников 𝐴𝐾𝑁𝐷 и 𝐵𝐶𝑁𝐾 также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равен 0,25. а) Докажите, что четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 является равнобедренной трапецией. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐾𝑁𝐷, если радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, равен 8, 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 2 : 5, а 𝐵𝐶 < 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 = 4.
Задание 20
На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, около которого можно описать окружность, отмечены точки 𝐾 и 𝑁 соответственно. Около четырехугольников 𝐴𝐾𝑁𝐷 и 𝐵𝐶𝑁𝐾 также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равен 0,2. а) Докажите, что прямые 𝐾𝑁 и 𝐴𝐷 параллельны. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐵𝐶𝑁𝐾, если радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, равен 7, 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 9 : 10, а 𝐵𝐶 < 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 = 10.
Задание 21
Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 лежат на окружности в указанном порядке, причем 𝐴𝐸 = 𝐸𝐷 = 𝐶𝐷, а прямые 𝐴𝐶 и 𝐵𝐸 перпендикулярны. Отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑇. а) Докажите, что прямая 𝐸𝐶 пересекает отрезок 𝑇 𝐷 в его середине. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝑇, если 𝐵𝐷 = 6, 𝐴𝐸 = √ 6.
Задание 22
Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 лежат на окружности в указанном порядке, причем 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, а 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐸. Точка 𝐾 – пересечение прямых 𝐵𝐸 и 𝐴𝐷. а) Докажите, что прямая 𝐶𝐸 делит отрезок 𝐾𝐷 пополам. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐾, если 𝐴𝐷 = 4, 𝐷𝐶 = √ 3.
Задание 23
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐴 острый. На продолжениях сторон 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбраны точки 𝑀 и 𝑁 соответственно, причем 𝐴𝑁 = 𝐴𝐷 и 𝐶𝑀 = 𝐶𝐷. а) Докажите, что 𝐵𝑁 = 𝐵𝑀. б)Найдите 𝑀𝑁, если 𝐴𝐶 = 5, sin ∠𝐵𝐴𝐷 = 5 13 .
Задание 24
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 тангенс угла 𝐴 равен 1,5. На продолжениях сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 параллелограмма за точку 𝐵 выбраны точки 𝑁 и 𝑀 соответственно, причем 𝐵𝐶 = 𝐶𝑁 и 𝐴𝐵 = 𝐴𝑀. а) Докажите, что 𝐷𝑁 = 𝐷𝑀. б)Найдите 𝑀𝑁, если 𝐴𝐶 = √ 13.
Задание 25
Около окружности с центром 𝑂 описана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. а) Докажите, что ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐶𝑂𝐷 = 90∘ . б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, а площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 12 49 площади трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Задание 26
Около окружности с центром 𝑂 описана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝑂𝐵 прямоугольный. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 16 81 площади трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Задание 27
Точки 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 – середины сторон соответственно 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴1𝐶𝐵1, 𝐴1𝐵𝐶1 и 𝐵1𝐴𝐶1, пересекаются в одной точке. б) Известно, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 13 и 𝐵𝐶 = 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников 𝐴1𝐶𝐵1, 𝐴1𝐵𝐶1 и 𝐵1𝐴𝐶1.
Задание 28
Точки 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 – середины сторон соответственно 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴1𝐶𝐵1, 𝐴1𝐵𝐶1 и 𝐵1𝐴𝐶1, пересекаются в одной точке. б) Известно, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 17 и 𝐵𝐶 = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников 𝐴1𝐶𝐵1, 𝐴1𝐵𝐶1 и 𝐵1𝐴𝐶1.
Задание 29
В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 основание 𝐴𝐷 в два раза меньше основания 𝐵𝐶. Внутри трапеции взяли точку 𝑀 так, что углы 𝐵𝐴𝑀 и 𝐶𝐷𝑀 прямые. а) Докажите, что 𝐵𝑀 = 𝐶𝑀. б) Найдите угол 𝐴𝐵𝐶, если угол 𝐵𝐶𝐷 равен 64∘ , а расстояние от точки 𝑀 до прямой 𝐵𝐶 равно стороне 𝐴D
Задание 30
Точка 𝐾 лежит на отрезке 𝐴𝐵. Прямая, проходящая через точку 𝐵, касается окружности с диаметром 𝐴𝐾 в точке 𝑁 и второй раз пересекает окружность с диаметром 𝐵𝐾 в точке 𝑀. Продолжение отрезка 𝑁𝐾 пересекает окружность с диаметром 𝐵𝐾 в точке 𝑃. а) Докажите, что прямые 𝐴𝑁 и 𝐵𝑃 параллельны. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐾𝑃, если 𝐵𝑀 = 1 и 𝑀𝑁 = 4.
Задание 31
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины 𝐴 и 𝐵 равнобедренного прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝐷. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 параллельны. б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
Задание 32
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины 𝐴 и 𝐵 равнобедренного прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝐷. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 параллельны. б) Найдите 𝐵С, если радиусы окружностей равны √ 15 и 15.
Задание 33
В четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О. а) Докажите, что в четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 10, 𝐵𝐷 = 26.
Задание 34
В четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О. а) Докажите, что в четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 12, 𝐵𝐷 = 13.
Задание 35
В прямоугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали пересекаются в точке О, а угол 𝐵𝐷𝐶 равен 75°. Точка Р лежит вне прямоугольника, а угол АРВ равен 150°. а) Докажите, что углы ВАР и РОВ равны. б) Прямая РО пересекает сторону 𝐶𝐷 в точке 𝐹. Найдите 𝐶𝐹, если 𝐴𝑃 = 6√ 3 и 𝐵𝑃 = 4.
Задание 36
В прямоугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали пересекаются в точке 𝑂, а угол 𝐵𝐷𝐶 равен 22,5°. Точка 𝑃 лежит вне прямоугольника, а угол 𝐵𝑃 𝐶 равен 135°. а) Докажите, что углы 𝐵𝐶𝑃 и 𝑃 𝑂𝐵 равны. б) Прямая 𝑃 𝑂 пересекает сторону 𝐴𝐷 в точке 𝐹. Найдите 𝐷𝐹, если 𝐶𝑃 = 5√ 2 и 𝐵𝑃 = 7.
Сборник Ященко ЕГЭ 2024 математика профильный уровень 36 вариантов
Сборник Ященко ЕГЭ 2024 математика профильный уровень 36 вариантов заданий с ответами