Автор Тренировочные варианты №9, №10, №11 ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профильный уровень (профиль) задания и ответы пробное ЕГЭ КИМ в формате 2024 года со всеми изменениями от 23 ноября для подготовки к реальному экзамену. Задания взяты из открытого банка заданий ФИПИ и с реальных экзаменов прошлых лет.
▣ Скачать 9 вариант с ответами
▣ Скачать 10 вариант с ответами
▣ Скачать 11 вариант с ответами
Каждый вариант состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
Тренировочный вариант №9 ЕГЭ 2024 по математике профиль
variant-9-ege-2024-profil-mat-otvetiТренировочный вариант №10 ЕГЭ 2024 по математике профиль
variant-10-ege-2024-profil-mat-otvetiТренировочный вариант №11 ЕГЭ 2024 по математике профиль
variant-11-ege-2024-profil-mat-otveti1 вариант задания и ответы
1. Один угол параллелограмма больше другого на 40°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 70
2. Длина вектора 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ равна 6, длина вектора 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ равна 7. Косинус угла между этими векторами равен 5 7 . Найдите длину вектора 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ .
Ответ: 5
3. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ: 12
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Ответ: 0,375
5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
Ответ: 0,33
6. Найдите корень уравнения lg(𝑥 + 11) = 1.
Ответ: -1
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−3; 8). В какой точке отрезка [−2; 3] функция 𝑓(𝑥) принимает наименьшее значение?
Ответ: 3
9. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 494 МГц. Скорость погружения батискафа 𝑣 вычисляется по формуле 𝑣 = 𝑐 ∙ 𝑓−𝑓0 𝑓+𝑓0 , где 𝑐 = 1500 м/с – скорость звука в воде, 𝑓0 – частота испускаемых импульсов, 𝑓 – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 18 м/с.
Ответ: 506
10. В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
Ответ: 16
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(−4).
Ответ: 16
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 𝑥 5 + 20𝑥 3 − 65𝑥 на отрезке [−4; 0].
Ответ: 44
13. а) Решите уравнение √𝑥 3 − 4𝑥 2 − 10𝑥 + 29 = 3 − 𝑥. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−√3;√30].
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 точка 𝑀 − середина ребра 𝐶𝐶1 . На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 взяты точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐴𝐾:𝐾𝐵 = 𝐵1𝑁: 𝑁𝐴1 . а) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝑁 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐴1𝐵1 . б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 𝑀𝐾𝑁, если 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵1 = 42 и 𝐵𝐾:𝐾𝐴 = 41: 1.
15. Решите неравенство lg4𝑥 − 4lg3𝑥 + 5lg2𝑥 − 2 lg 𝑥 ≥ 0.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в конце 2030 года долг составит 400 тыс. руб; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите 𝑟, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 1740 тыс. рублей.
Ответ: 30
17. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝐾, 𝐿, 𝑀 и 𝑁 − середины сторон 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷 соответственно. Площади четырёхугольников 𝐴𝐵𝐿𝑁 и 𝑁𝐿𝐶𝐷 равны, а площади четырёхугольников 𝐾𝐵𝐶𝑀 и 𝐴𝐾𝑀𝐷 относятся как 11:17. а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны. б) Найдите отношение 𝐵𝐶 к 𝐴𝐷.
Ответ: 2:5
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение √2 − 3𝑥 ∙ ln(16𝑥 2 − 𝑎 2 ) = √2 − 3𝑥 ∙ ln(4𝑥 + 𝑎) имеет ровно один корень.
19. В каждой клетке квадратной таблицы 6×6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи? б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи? в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
2 вариант задания и ответы
1. Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Угол 𝐴𝐵𝐶 равен 82°, угол 𝐴𝐵𝐷 равен 47°. Найдите угол 𝐶𝐴𝐷. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 35
2. Длина вектора 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ равна 6, длина вектора 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ равна 7. Косинус угла 𝐵𝐴𝐶 равен 23 72 . Найдите длину вектора 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ .
Ответ: 6
3. В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 , все рёбра которой равны 3, найдите угол между прямыми 𝐶𝐷 и 𝐸1𝐹1 . Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 5, но не делится на 30.
Ответ: 0,25
5. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Ответ: 0,22
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 .
Ответ: 3
9. Зависимость объёма спроса 𝑞 (единиц в месяц) на продукцию предприятиямонополиста от цены 𝑝 (тыс. руб.) задаётся формулой 𝑞 = 190 − 10𝑝. Выручка предприятия за месяц 𝑟 (в тыс. руб.) вычисляется по формуле 𝑟(𝑝) = 𝑞 ∙ 𝑝. Определите наибольшую цену 𝑝, при которой месячная выручка 𝑟(𝑝) составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Ответ: 14
10. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 800 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 33 секундам. Ответ дайте в метрах.
Ответ: 300
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥. Найдите значение 𝑓(16).
Ответ: 4
12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (3𝑥 2 + 21𝑥 − 21)𝑒 𝑥 на отрезке [−5; 3].
Ответ: -21
14. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины рёбер: 𝐴𝐵 = 6√2, 𝐴𝐷 = 10, 𝐴𝐴1 = 16. На рёбрах 𝐴𝐴1 и 𝐵𝐵1 отмечены точки 𝐸 и 𝐹 соответственно, причём 𝐴1𝐸: 𝐸𝐴 = 5: 3 и 𝐵1𝐹: 𝐹𝐵 = 5: 11. Точка 𝑇 − середина ребра 𝐵1𝐶1 . а) Докажите, что плоскость 𝐸𝐹𝑇 проходит через точку 𝐷1 . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью 𝐸𝐹𝑇.
Ответ: 97,5
16. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей.
Ответ: 12 млн
17. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐶𝐶1 и медиану 𝐴𝐴1 . Оказалось, что точки 𝐴, 𝐴1 , 𝐶, 𝐶1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐴1 : 𝐶𝐶1 = 3: 2 и 𝐴1𝐶1 = 2.
Ответ: 8√2
19. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет б) да в) 549
3 вариант задания и ответы
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐷 − медиана, угол 𝐶 равен 90°, угол 𝐵 равен 35°. Найдите угол 𝐴𝐶𝐷. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 55
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗. Найдите скалярное произведение векторов 𝑎⃗ и 2𝑏⃗⃗.
Ответ: 112
3.В цилиндрический сосуд налили 500 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
Ответ: 100
4. В классе 26 семиклассников, среди них два близнеца – Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.
Ответ: 0,52
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Ответ: 0,069
6. Найдите корень уравнения (6𝑥 − 13) 2 = (6𝑥 − 11) 2
Ответ: 2
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) равна 0.
Ответ: 9
9. Водолазный колокол, содержащий 𝑣 = 2 моля воздуха при давлении 𝑝1 = 1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления 𝑝2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением 𝐴 = 𝛼𝑣𝑇 log2 𝑝2 𝑝1 , где 𝛼 = 13,3 Дж моль∙К − постоянная, 𝑇 = 300 К – температура воздуха. Найдите, какое давление 𝑝2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15960 Дж.
Ответ: 7
10. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Ответ: 27
11. На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
Ответ: 4
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 точка 𝑀 является серединой ребра 𝐵𝐵1 , а точка 𝑁 − середина ребра 𝐴1𝐶1 . Плоскость 𝛼, параллельная прямым 𝐴𝑀 и 𝐵1𝑁, проходит через середину отрезка 𝐵1𝑀. а) Докажите, что плоскость 𝛼 проходит через середину отрезка 𝐵1𝐶1 . б) Найдите площадь сечения призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 плоскостью 𝛼, если все рёбра призмы имеют длину 4.
Ответ: 3,5√6
15. Решите неравенство (5𝑥 − 13) ∙ log2𝑥−5 (𝑥 2 − 6𝑥 + 10) ≥ 0.
Ответ: (2,5; 2,6] ∪ (3; +∞)
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей; – к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Какую сумму планируется взять в кредит, если известно, что платёж в 2029 году равен 860,6 тыс. рублей?
Ответ: 800 тыс.
17. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Диагональ 𝐵𝐷 разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷. а) Докажите, что луч 𝐴𝐶 − биссектриса угла 𝐵𝐴𝐷. б) Найдите 𝐶𝐷, если известны диагонали трапеции: 𝐴𝐶 = 12 и 𝐵𝐷 = 6,5.
Ответ: 5
19. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля). а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12? б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87? в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да б) нет в) 11