Автор Новые тренировочные варианты ЕГЭ 2025 профильный уровень математика 11 класс КИМ 7-8 задания с ответами и решением 2 части для подготовки к экзамену, который пройдёт в 2025 году. Каждый пробный вариант составлен по новой демоверсии ФИПИ.
→ 7 вариант задания и ответы: скачать
→ 8 вариант задания и ответы: скачать
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
Задания и ответы для 7 варианта
1. Хорда 𝐴𝐵 делит окружность на две части, градусные меры которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки 𝐶, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Ответ: 105
2. Найдите скалярное произведение векторов 𝑎 и 𝑏 .
Ответ: 40
3. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.
Ответ: 2
4. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 8.
Ответ: 0,25
5. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.
Ответ: 0,2
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−6; 5). В какой точке отрезка [−5; −1] функция 𝑓 (𝑥) принимает наименьшее значение?
Ответ: -5
9. Небольшой мячик бросают под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой 𝐻 = 𝑣 2 0 4𝑔 (1 − cos 2𝛼), где 𝑣0 = 20 м/с — начальная скорость мячика, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 10 м/с2 ). При каком наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?
Ответ: 30
10. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Ответ: 24
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑏.
Ответ: 1,5
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 3𝑥 5 − 20𝑥 3 − 54 на отрезке [−4; −1].
Ответ: 10
13. а) Решите уравнение 2 cos 𝑥 − √ 3 sin2 𝑥 = 2 cos3 𝑥. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 сторона основания равна 12, а боковое ребро 𝐴𝐴1 равно 3 √ 6. На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝐵1𝐶1 отмечены точки 𝐾 и 𝐿, соответственно, причём 𝐴𝐾 = 2, а 𝐵1𝐿 = 4. Точка 𝑀 — середина ребра 𝐴1𝐶1. Плоскость 𝛾 параллельна ребру 𝐴𝐶 и содержит точки 𝐾 и 𝐿. а) Докажите, что прямая 𝐵𝑀 перпендикулярна плоскости 𝛾. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝛾.
15. Решите неравенство log 1 3 (18 − 9𝑥) < log 1 3 (𝑥 2 − 6𝑥 + 5) + log 1 3 (𝑥 + 2).
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 𝑥% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. Найдите 𝑥, если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.
Ответ: 25
17. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝐸 — середина основания 𝐴𝐷, точка 𝑀 — середина боковой стороны 𝐴𝐵. Отрезки 𝐶𝐸 и 𝐷𝑀 пересекаются в точке 𝑂. а) Докажите, что площади четырёхугольника 𝐴𝑀𝑂𝐸 и треугольника 𝐶𝑂𝐷 равны. б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника 𝐴𝑀𝑂𝐸, если 𝐵𝐶 = 3, 𝐴𝐷 = 4.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 + 𝑎 2 + 𝑥 − 7𝑎 = |7𝑥 + 𝑎| имеет более двух различных решений.
19. Сорок гирек массой 1 г, 2 г, . . . , 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г. а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г? б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 8,5 г? в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
Задания и ответы для 8 варианта
1. Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ: 3
3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 8, 𝐴𝐷 = 6, 𝐴𝐴1 = 21. Найдите синус угла между прямыми 𝐶𝐷 и 𝐴1𝐶1.
Ответ: 15
4. При изготовлении подшипников диаметром 69 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не более чем, на 0,01 мм, равна 0,975. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 68,99 мм, или больше, чем 69,01 мм.
Ответ: 0, 025
5. При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 5 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 1 очков?
Ответ: 0,5
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−15; 5). Найдите количество точек максимума функции 𝑓 (𝑥), принадлежащих отрезку [−14; 4].
Ответ: 3
9. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени 𝜐 = 2 моля воздуха объёмом 𝑉1 = 18 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма 𝑉2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением 𝐴 = 𝛼𝜐𝑇 log2 𝑉1 𝑉2 , где 𝛼 = 9,15 Дж моль·К — постоянная, а 𝑇 = 300 К — температура воздуха. Найдите, какой объём 𝑉2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10980 Дж.
Ответ: 4,5
10. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Ответ: 17
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑓 (6).
Ответ: 61
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 7 cos 𝑥 + 16𝑥 − 2 на отрезке
Ответ: 6
14. В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 точка 𝐾 — делит сторону 𝑆𝐶 в отношении 1 2 , считая от вершины 𝑆, точка 𝑁 делит сторону 𝑆𝐵 в отношении 1 2 , считая от вершины 𝑆. Через точки 𝑁 и 𝐾 параллельно 𝑆𝐴 проведена плоскость 𝜔. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью 𝜔 параллельно прямой 𝐵𝐶. б) Найдите расстояние от точки 𝐵 до плоскости 𝜔, если известно, что 𝑆𝐴 = 9, 𝐴𝐵 = 6.
16. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Валерий переводит очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 660 тыс рублей, во второй — 484 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?
17. Две окружности с центрами 𝑂1 и 𝑂2 пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵, причём точки 𝑂1 и 𝑂2 лежат по разные стороны от прямой 𝐴𝐵. Продолжения диаметра 𝐶𝐴 первой окружности и хорды 𝐶𝐵 этой окружности пересекают вторую окружности в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. а) Докажите, что треугольники 𝐶𝐵𝐷 и 𝑂1𝐴𝑂2 подобны. б) Найдите 𝐴𝐷, если ∠𝐷𝐴𝐸 = ∠𝐵𝐴𝐶, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и 𝐴𝐵 = 3.
19. Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26? б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?
Смотрите на сайте ЕГЭ по математике профиль
Варианты МА2410101-МА2410112 статград математика 11 класс ЕГЭ 2025 с ответами