Автор Новые тренировочные варианты №2 и №27 решу ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень от школы Пифагора 100 баллов с ответами и решением для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 27 мая 2025 (во вторник). Каждый вариант соответствует новой демоверсии ФИПИ 2025 года из открытого банка задач.
Пробник ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
2 вариант ЕГЭ 2025 математика 11 класс профиль
Variant_2_EGE_profil_s_otvetami_2025Разбор 2 варианта
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 = 14, высота 𝐶𝐻 равна 7. Найдите синус угла 𝐴𝐶𝐵.
Ответ: 0,5
2. Даны векторы 𝑎⃗ (1; 2), 𝑏⃗⃗ (−3; 6) и 𝑐⃗ (4; −2). Найдите длину вектора 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.
Ответ: 10
3. В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 найдите угол между прямыми 𝐴1𝐷 и 𝐵1𝐷1 . Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
4. В классе 26 семиклассников, среди них два близнеца – Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.
Ответ: 0,52
5. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Ответ: 0,16
6. Найдите корень уравнения log7 (1 − 𝑥) = log7 5.
Ответ: -4
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) − производной функции 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены девять точек: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 , 𝑥8 , 𝑥9 . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции 𝑓(𝑥)?
Ответ: 5
9. К источнику с ЭДС 𝜀 = 180 В и внутренним сопротивлением 𝑟 = 1 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением 𝑅 (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле 𝑈 = 𝜀𝑅 𝑅+𝑟 . При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 170 В? Ответ дайте в омах.
Ответ: 17
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 775 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 28 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 61 час. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 3
11. На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
Ответ: 4
12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 69 cos 𝑥 + 71𝑥 + 48 на отрезке.
Ответ: 117
13. а) Решите уравнение cos2𝑥 − cos 2𝑥 = 0,75. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. Точка 𝑀 − середина ребра 𝑆𝐴 правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точка 𝑁 лежит на ребре 𝑆𝐵, 𝑆𝑁: 𝑁𝐵 = 1: 2. а) Докажите, что плоскость 𝐶𝑀𝑁 параллельна прямой 𝑆𝐷. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝐶𝑀𝑁, если все рёбра пирамиды равны 6.
16. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1,5 млн рублей. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 𝑟 процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где 𝑟 − целое число; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Найдите наименьшее значение 𝑟, при котором общая сумма выплат будет больше 2,2 млн рублей.
17. Окружность с центром в точке 𝑂 касается сторон угла с вершиной 𝑁 в точках 𝐴 и 𝐵. Отрезок 𝐵𝐶 − диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая 𝐴𝐶 параллельна биссектрисе угла 𝐴𝑁𝐵. б) Найдите длину отрезка 𝑁𝑂, если известно, что 𝐴𝐶 = 14 и 𝐴𝐵 = 48.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение √𝑥 2 − 𝑎 2 = √3𝑥 2 − (3𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
19. На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810. а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа? б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7? в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?
27 тренировочный вариант для 11 класса школа Пифагора
Variant_27_EGE_profil_s_otvetami_2025Разбор 27 варианта
Задание 1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, высота 𝐶𝐻 равна 19,2, cos𝐴 = 7 25 . Найдите 𝐴𝐶.
Ответ: 20
Задание 2
На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
Ответ: 71
Задание 3
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Ответ: 5
Задание 4
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,97
Задание 5
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 8».
Ответ: 0,12
Задание 6
Найдите корень уравнения √𝑥 − 3 3 = 4.
Ответ: 67
Задание 8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝐹(𝑥) одной из первообразных некоторой функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения 𝑓(𝑥) = 0 на отрезке [−5; 2].
Ответ: 3
Задание 9
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле 𝜈 = 𝑐 ∙ 𝑓−𝑓0 𝑓+𝑓0 , где 𝑐 = 1500 м/с – скорость звука в воде, 𝑓0 − частота испускаемых импульсов (в МГц), 𝑓 − частота отражённого сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала 𝑓, если скорость погружения батискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц.
Ответ: 220,5
Задание 10
На изготовлении 60 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 80 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?
Ответ: 8
Задание 11
На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Найдите значение 𝑓(−2).
Ответ: 12
Задание 12
а) Решите уравнение 4sin3𝑥 + 2√3 cos 2𝑥 + 3 sin 𝑥 = 2√3. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
Ответ: 42
Задание 13
В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна боковому ребру 𝑆𝐴. Медианы треугольника 𝑆𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑀. а) Докажите, что 𝐴𝑀 = 𝐴𝐷. б) Точка 𝑁 − середина 𝐴𝑀. Найдите 𝑆𝑁, если 𝐴𝐷 = 6.
Задание 15
Решите неравенство 2 𝑥+1 + 0,5 𝑥−3 ≥ 17.
Задание 16
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен. Чему равна сумма всех выплат?
Задание 17
Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Задание 18
Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение |𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 7| = |6𝑎 − 𝑥 2 − 2𝑥 − 1| имеет более двух различных корней.
Задание 19
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза. а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 71? б) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71? в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 7000?