Автор Новые тренировочные варианты №11 и №12 ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень от школы Пифагора 100 баллов с ответами и решением для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 27 мая 2025 (во вторник). Каждый вариант соответствует новой демоверсии ФИПИ 2025 года.
Пробник состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
11 тренировочный вариант ЕГЭ 2025 математика профиль
variant-11-ege-2025-profil-mat-11klass12 вариант пробника ЕГЭ 2025 школа Пифагора
variant-12-ege-2025-profil-mat-11klassЗадания и ответы для 11 варианта
Risovalki_k_variantu_11_20251 задание
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐷 − медиана, угол 𝐶 равен 90°, угол 𝐵 равен 35°. Найдите угол 𝐴𝐶𝐷. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 55
2 задание
Длины векторов 𝑎 и 𝑏 равны 3 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение 𝑎∙ 𝑏.
Ответ: 10,5
3 задание
Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.
Ответ: 75
4 задание
На конференцию приехали 2 учёных из Дании, 7 из Польши и 3 из Венгрии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым окажется доклад учёного из Венгрии.
Ответ: 0,25
5 задание
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Ответ: 0,069
6 задание
Найдите корень уравнения (𝑥 + 3) 9 = 512.
Ответ: -1
8 задание
На рисунке изображен график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определенной на интервале (−6; 5). В какой точке отрезка [−5; −1] функция 𝑓(𝑥) принимает наибольшее значение?
Ответ: -5
9 задание
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону 𝐻(𝑡) = 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝐻0 , где 𝐻0 = 3 м – начальный уровень воды, 𝑎 = 1 768 м/мин2 и 𝑏 = − 1 8 мин − постоянные, 𝑡 − время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
Ответ: 48
10 задание
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
Ответ: 33
12 задание
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 33𝑥 − 30 sin 𝑥 + 29 на отрезке
14 задание
Основанием прямой треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 является прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Диагонали боковых граней 𝐴𝐴1𝐵1𝐵 и 𝐵𝐵1𝐶1𝐶 равны 15 и 9 соответственно, 𝐴𝐵 = 13. а) Докажите, что треугольник 𝐵𝐴1𝐶1 прямоугольный. б) Найдите объём пирамиды 𝐴𝐴1𝐶1𝐵.
15 задание
Решите неравенство lg4𝑥 − 4lg3𝑥 + 5lg2𝑥 − 2 lg 𝑥 ≥ 0.
16 задание
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере 𝑆 млн рублей, где 𝑆 − целое число. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение 𝑆, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
17 задание
В прямоугольную трапецию 𝐴𝐵𝐶𝐷 с прямым углом при вершине 𝐴 и острым углом при вершине 𝐷 вписана окружность с центром 𝑂. Прямая 𝐷𝑂 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝑀, а прямая 𝐶𝑂 пересекает сторону 𝐴𝐷 в точке 𝐾. а) Докажите, что ∠𝐴𝑀𝑂 = ∠𝐷𝐾𝑂. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝑂𝑀, если 𝐵𝐶 = 10 и 𝐴𝐷 = 15.
19 задание
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Видео решение варианта
Задания и ответы для 12 варианта
Risovalki_k_variantu_12_20251. Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на отрезки равные 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Ответ: 10
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 3𝑏⃗⃗.
Ответ: 8
3. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2. Найдите образующую конуса.
Ответ: 20
4. В классе 16 учащихся, среди них два друга – Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.
Ответ: 0,2
5. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?
Ответ: 2
6. Найдите корень уравнения log5 (5 − 𝑥) = 2 log5 3.
Ответ: -4
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 .
Ответ: 0,25
10. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Ответ: 27
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(−4).
Ответ: 16
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 11 ∙ ln(𝑥 + 4) − 11𝑥 − 5 на отрезке [−3,5; 0].
Ответ: 28
14. Дана треугольная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶. Основание высоты 𝑆𝑂 этой пирамиды является серединой отрезка 𝐶𝐻 − высоты треугольника 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что 𝐴𝐶2 − 𝐵𝐶2 = 𝐴𝑆2 − 𝐵𝑆2 . б) Найдите объём пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 25, 𝐴𝐶 = 10, 𝐵𝐶 = 5√13, 𝑆𝐶 = 3√10.
Ответ: 225
16. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
Ответ: 7 млн
17. Пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 вписан в окружность. Диагонали 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 пересекаются в точке 𝑀. Известно, что 𝐵𝐶𝐷𝑀 − параллелограмм. а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны. б) Найдите 𝐴𝐵, если известно, что 𝐵𝐸 = 12, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐷 = 9.
Ответ: 10
19. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля). а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20? б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81? в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да б) нет в) 11
Видео решение варианта
Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом
Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов.
Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках, входящих в федеральный перечень учебников, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.
Решите другие варианты ЕГЭ 2025
Варианты МА2410301-МА2410312 статград математика 11 класс ЕГЭ 2025