Автор 4 новых тренировочных варианта ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и решением для подготовки. Каждый вариант соответствует реальному экзамену ФИПИ 2024 года.
1 тренировочный вариант ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профиль
variant-3-ege2024-profil-mat-11klass-prob2 тренировочный вариант ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профиль
variant-4-ege2024-profil-mat-11klass-probЗадания для 1 варианта
1. В треугольнике со сторонами 4 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
2. Даны векторы −→𝑎 (3; −2) и −→𝑏 (−3; −4). Найдите скалярное произведение векторов 2 −→𝑎 и −3 −→𝑏.
3. Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 2 √ 3.
4. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждого из участвующих городов, в том числе группы из Екатеринбурга, Москвы и Новосибирска. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Екатеринбурга будет выступать позже групп из Москвы и Новосибирска? Ответ округлите до сотых.
5. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 85% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−9; 5). Найдите промежутки убывания функции 𝑓 (𝑥). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
9. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 𝑣0 = 59 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением 𝑎 = 4 км/ч2 . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением 𝑆 = 𝑣0𝑡 + 𝑎𝑡2 2 . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах.
10. Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 5,3 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 2,8 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 cos 𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑎.
14. Высота 𝑆𝐴 четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 перпендикулярна плоскости основания, в котором 𝐴𝐵 ‖ 𝐶𝐷. Через ребро 𝐶𝐷 проведено сечение 𝜑, являющееся квадратом. а) Докажите, что 𝐴𝐵𝐶𝐷 – прямоугольная трапеция. б) Найдите угол между плоскостью 𝐵𝑆𝐶 и основанием пирамиды, если тангенс угла между плоскостью 𝜑 и основанием пирамиды равен 3 4 , а 𝐴𝐵 : 𝐶𝐷 = 4 : 3.
16. 1 ноября 2023 года Алеся и Сергей открыли в банке вклады на одну и ту же сумму. Банк 31 октября каждого года начисляет по их вкладам некоторый одинаковый процент 𝑟, который добавлялся к сумме вклада. Алеся 1 ноября 2024, 2025 и 2026 годов пополняла свой вклад на одну и ту же сумму. А Сергей сделал одноразовое пополнение 1 ноября 2025 года на сумму, большую одного пополнения Алеси в 3,05 раза. Найдите 𝑟, если известно, что 1 ноября 2027 года на вкладах Алеси и Сергея оказались одинаковые сумму.
17. Окружность, проходящая через вершины 𝐴 и 𝐵 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону 𝐴𝐷 в точке 𝑀, а диагональ 𝐴𝐶 – в точке 𝐾. Прямая 𝑀𝐾 пересекает продолжение стороны 𝐶𝐷 в точке 𝑁. а) Докажите, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐶𝐵𝑁. б) Найдите площадь четырёхугольника 𝐵𝐾𝐶𝑁, если 𝐴𝐵 = 4, 𝐴𝑀 = 1 и 𝑀𝐷 = 5.
19. Алина взяла натуральное число и прибавила к нему произведение его цифр. а) Может ли у Алины получиться 143? б) Может ли у Алины получиться 133? в) Найдите сумму всех чисел, которые могла взять Алина, если у нее получилось 338.
Задания для 2 варианта
1. Стороны 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷 четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 70∘ , 83∘ , 58∘ , 149∘ . Найдите угол 𝐴𝐵𝐶. Ответ дайте в градусах.
3. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 60, боковые рёбра равны 78. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
4. В группе туристов 32 человека. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Г. полетит четвёртым рейсом вертолёта.
5. На хлебозаводе выпекают буханки номинальной массой 800 г. Известно, что в среднем 95% буханок весят меньше, чем 810 г, и в среднем 92% буханок весят больше, чем 790 г. Найдите вероятность того, что масса случайно выбранной свежей буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции 𝑓 (𝑥) в точке 𝑥0.
10. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 14 рабочих, а во второй — 19 рабочих. Через 6 дней после начала работы в первую бригаду перешли 10 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵𝐶𝐷 относится к боковому ребру 𝑆𝐴 как √ 2 3 . а) Докажите, что плоскость, проходящая через вершину 𝐴 перпендикулярно ребру 𝑆𝐶 делит его в отношении 7 : 2, считая от вершины 𝑆. б) Найдите площадь сечения пирамиды, образовавшегося проведённой плоскостью, если расстояние от от вершины 𝐵 до этой плоскости равно 2.
16. В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь 2025, 2026, 2027, 2028 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; — каждый январь 2029, 2030, 2031, 2032 годов долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; — в июле 2025, 2026, 2027, 2028 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2029, 2030, 2031, 2032 годов долг должен быть на 120 тыс. рублей меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2032 года долг должен быть полностью погашен. Найдите платёж в 2030 году, если общая сумма выплат по кредиту составила 1340 тыс. рублей.
17. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 через точку пересечения диагоналей провели прямую, пересекающую основания 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Эта прямая разделила трапецию на две части: параллелограмм 𝐴𝐵𝑁𝑀 и трапецию 𝑀𝑁𝐶𝐷. а) Докажите, что 𝐴𝑀2 = 𝑁𝐶 · 𝑀𝐷. б) Найдите отношение площадей 𝐴𝐵𝑁𝑀 и 𝑀𝑁𝐶𝐷, если 𝐴𝐷 : 𝐵𝐶 = 2 : 1.
19. На доске записана правильная дробь, числитель и знаменатель которой – двузначные числа без нулевых цифр. При этом ровно одна из цифр числителя совпадает с ровно одной из цифр знаменателя, а если эту цифру стереть в обоих местах, то значение дроби не изменится. а) Приведите пример такой дроби. б) Существует ли такая дробь, первая цифра числителя которой совпадает со второй цифрой знаменателя? в) Сколько существует таких дробей?
Задания для 3 варианта
1. В параллелограмме KMPD биссектриса DO делит его сторону MP на отрезки MO = 21 и OP = 13. Найдите сторону KM.
2. Даны векторы 𝑎⃗{5; 1}, 𝑏⃗⃗{−2; −8} и 𝑐⃗{8; −2}, . Найдите длину вектора 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.
3. Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
4. В среднем из 200 наушников, поступивших в продажу, четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранные наудачу в магазине наушники окажутся исправными.
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
6. Найдите корень уравнения (𝑥 + 7) 5 = 243.
7. Найдите значение выражения 5 cos 2𝛼, если cos 𝛼 = −0,8.
8. На рисунке изображены график функции y=f / (x) – производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?
9. Тело брошено вертикально вверх с высоты 28 метров. Пока тело не упало, высота, на которой оно находится, описывается формулой ℎ(𝑡) = 28 + 13𝑡 − 5𝑡 2 , где h − высота в метрах, t − время в секундах, прошедшее с момента броска. Через сколько секунд тело упадет?
10. Два автомобиля одновременно отправляются из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 280 км. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает в пункт В на 40 минут раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
11. На рисунке изображен график функции 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 3. Найдите 𝑓(8). 12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥 − 12.
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Задания для 4 варианта
1. Найдите периметр параллелограмма KMPD, если биссектриса DO делит его сторону MP на отрезки MO = 18 и OP = 12. 2. Даны векторы 𝑎⃗{4; −1}, 𝑏⃗⃗{9; −5} и 𝑐⃗{−2; 2}, . Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗.
3. Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей равна 75. Найдите высоту конуса.
4. Ателье шьёт пальто. В среднем из 60 пальто 3 пальто имеют брак. Найдите вероятность того, что случайно выбранное пальто окажется без брака.
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. 6. Найдите корень уравнения (8 − 𝑥) 7 = −128.
7. Найдите значение выражения 20 cos 2𝛼, если cos 𝛼 = −0,7.
8. На рисунке изображены график функции y=f / (x) – производной функции f(x), определенной на интервале (−3; 8). В какой точке отрезка [−2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
9. Тело брошено вертикально вверх с высоты 11,2 метров. Пока тело не упало, высота, на которой оно находится, описывается формулой ℎ(𝑡) = 11,2 + 10𝑡 − 5𝑡 2 , где h − высота в метрах, t − время в секундах, прошедшее с момента броска. Через сколько секунд тело упадет?
10. Два автомобиля одновременно отправляются из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 390 км. Первый едет со скоростью на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывает в пункт В на 1,5 часа раньше второго. Найдите скорость второго автомобиля.
11. На рисунке изображен график функции 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Найдите 𝑓(2). 12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = 2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 + 7.
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия: − каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; − в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей; − выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей; − к июлю 2021 долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Все задания №4 с ответами Ященко 2024 профиль математика 11 класс
Все задания №4 с ответами Ященко 2024 профиль математика 11 класс