Автор Тренировочные задания ЕГЭ 2023 по математике 11 класс профильный уровень по теме «Метод координат» задания и ответы для подготовки к ЕГЭ 2023 года.
Метод координат ЕГЭ 2023 математика 11 класс задачи
zadanie_metod_ege_profilЗадание 1 Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 4. 1. Выберите систему координат с началом в точке B, где ось Ox направлена вдоль ребра BA, Oy вдоль ребра BC, ось Oz вдоль ребра BB1. 2. Найдите в данной системе координаты точек: а) A; б) B1; в) D1; г) K – точка пересечения диагоналей основания ABCD; д) L – точка пересечения диагоналей грани BB1C1C; е) M – середина ребра C1D1; ж) N – точка, делящая ребро AD в отношении 5 : 3; з) P – точка, делящая диагональ CD1 в отношении 1 : 3; и) Q – точка, делящая отрезок DP в отношении 3 : 2. 3. Найдите длины отрезков: а) AD1; б) DL; в) B1M; г) KN; д) LQ.
Задание 2 Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Сторона основания равна 2, высота равна 5.
1. Выберете систему координат с началом в точке проекции вершины S на основание ABCD. Расположите ось Oz по высоте пирамиды, ось Ox параллельно ребру AD, ось Oy параллельно ребру AB.
2. В данной системе координат найдите координаты следующих точек: а) S; б) B; в) D; г) K – середина ребра CD; д) L – середина ребра SC; е) M – точка, делящая ребро AB в отношении 3 : 1; ж) N – точка, делящая ребро SA в отношении 2 : 3; з) P – точка, делящая отрезок BD в отношении 1 : 4; и) Q – точка, делящая отрезок BN в отношении 2 : 1.
3. Выберете систему координат с началом в точке проекции вершины S на основание ABCD. Направьте ось Oz по высоте пирамиды, ось Ox по диагонали CA, ось Oy по диагонали BD.
4. Выполните пункт 2 для системы координат из пункта 3.
5. Выберете систему координат с началом в точке B основания ABCD. Направьте ось Ox по ребру BA, ось Oy по ребру BA, ось Oz параллельно высоте пирамиды. 6. Выполните пункт 2 для системы координат из пункта 5. 7. Найдите длины отрезков: а) AB; б) SA; в) CM; г) P N; д) SQ.
Задание 3 Дана правильная треугольная пирамида SABC. Сторона основания равна 1, высота равна 4.
1. Выберите систему координат с началом в точке B. Расположите ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy перпендикулярно AB, ось Oz параллельно высоте пирамиды.
2. В данной системе координат найдите координаты следующих точек: а) S; б) A; в) C; г) K – середина ребра AB; д) L – середина ребра SA; е) O – центр основания; ж) N – точка, делящая высоту SO в отношении 5 : 1; з) P – точка, делящая ребро SB в отношении 3 : 4.
3. Выберите систему координат с началом в точке O – центре основания пирамиды. Расположите ось Ox вдоль OB, ось Oy перпендикулярно OB, ось Oz вдоль высоты пирамиды.
4. Выполните пункт 2 для системы координат из пункта 3. 5. Найдите длины отрезков: а) BC; б) SA; в) OP; г) AN.
Задание 4 Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Сторона основания равна 4, боковое ребро равно 3. 1. Выберете систему координат с началом в точке M – середине ребра BC. Расположите ось Ox вдоль AM, ось Oy вдоль CM, ось Oz параллельно боковому ребру. 2. В данной системе координат найдите координаты следующих точек: а) A; б) C; в) B1; г) C1 д) K – середина ребра AB; е) L – середина ребра CC1; ж) N – точка, делящая ребро A1C1 в отношении 3 : 2; з) P – точка, делящая отрезок AC1 в отношении 2 : 1; и) Q – точка, делящая отрезок A1M в отношении 5 : 3. 3. Выберете систему координат с началом в точке A. Расположите ось Oy вдоль AB, ось Ox параллельно AB, ось Oz вдоль ребра AA1. 4. Выполните пункт 2 для системы координат из пункта 3. 5. Найдите длины отрезков: а) AB1; б) C1K; в) QN; г) B1L.
Задание 5 Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF. Сторона основания равна 2, высота равна 3. 1. Выберете систему координат с началом в точке O – центре основания. Расположите ось Ox вдоль BO, ось Oy вдоль OM (M – середина CD), ось Oz вдоль высоты. 2. В данной системе координат найдите координаты следующих точек: а) A; б) C; в) E; г) C1 д) S; е) L – середина ребра SC; ж) N – середина EF; з) P – точка, делящая отрезок SB в отношении 2 : 5; и) Q – точка, делящая отрезок AE в отношении 3 : 1. й) G – точка, делящая SM в отношении 4 : 1. 3. Найдите длины отрезков: а) ME; б) SB; в) P G; г) BL.
Задание 6 Дана правильная шестиугольная пирамида ABCDEF A1B1C1D1E1F1. Сторона основания равна 6, боковое ребро равно 2. 1. Выберете систему координат с началом в точке E – центре основания. Расположите ось Ox вдоль ED, ось Oy вдоль EA, ось Oz вдоль EE1. 2. В данной системе координат найдите координаты следующих точек: а) A; б) D; в) B1; г) F1 д) O – центр основания; е) L – середина ребра AF; ж) N – середина E1B; з) P – точка, делящая отрезок AC в отношении 3 : 2; и) Q – точка, делящая отрезок F1C в отношении 1 : 6. й) G – точка, делящая AD в отношении 5 : 2. 3. Найдите длины отрезков: а) AB1; б) LE1; в) QP; г) BG.
Задание 7 Найти скалярное произведение векторов ⃗a = {1; 4; −7} и ⃗b = {6; −3; −1}.
Задание 9 Выяснить будут ли перпендикулярны векторы: а) ⃗a = {2; 0; 1} и ⃗b = {−2; 5; 4}; б) ⃗a = {10; −2; 15}, {−11; 5; 9}.
Задание 10 Пусть даны точки A (−4; −3; −2), B (2; −2; −3), C (−8; −5; 1), D (4; −3; −1). Выяснить будут ли перпендикулярны векторы −−→AB и −−→CD. Что можно сказать о перпендикулярности прямых AB и CD?
Задание 11 Даны точки A (0; 1; 2), B (2; 3; −1) и C (1; 2; −1). Вычислите угол между векторами −→CA и −−→CB.
Задание 12 Вычислите угол между векторами ⃗a {0; 5; 0} и ⃗b {3; 0; −3}.
Задание 13 Вычислите угол между прямыми AB и CD, если A (−6; −15; 7), B (−7; −15; 8), C (14; −10; 9), D (14; −10; 7).
Задание 14 Пусть даны векторы ⃗a и ⃗b. Найти какой-нибудь вектор перпендикулярный им обоим, если 1. ⃗a = {0; −2; 4}, ⃗b = {7; 0; 1}; 2. ⃗a = {1; −1; 1}, ⃗b = {4; 11; −2}; 3. ⃗a = {−4; 13; −28}, ⃗b = {5; −17; 14}.
Задание 15 1. Даны точки A (2; −1; 4), B (1; 7; 3) и C (0; 2; 1). Найдите уравнение плоскости α, проходящей через эти точки. Найдите вектор, перпендикулярный данной плоскости. 2. Даны точки A (2; 0; 11), B (−6; 3; 1). Найдите параметрическое уравнение прямой ℓ, проходящей через данные точки. 3. Найдите точку пересечения плоскости α и прямой ℓ.
Задание 16 1. Найти уравнение прямой ℓ, проходящей через точку A (2; 3; −1) и перпендикулярной плоскости α : x + 4y − 3z + 5 = 0; 2. Найти точку пересечения прямой ℓ и α; 3. Найти расстояние от точки A до α.